Le concept de fonction est un concept largement universel qui se rencontre pratiquement dans toutes les disciplines scientifiques : mathématiques, physique, biologie, technologie mais également en sciences humaines etc… Il est également présent dans notre vie quotidienne sous forme de représentation graphique dans nos journaux. Il s’agit donc d’une connaissance importante dont l’utilité dépasse le cadre mathématique. Les premières approches de ce concept sont réalisées dès l’école primaire sous la forme de la notion de formule lors de calculs d’aire, de volume ou de vitesse moyenne. Malgré tout, les élèves de lycée posent toujours la question : « qu’est ce que c’est qu’une fonction ? »
1- Les principales étapes historiques du développement du concept de fonction
1.1- L’Antiquité
Le concept de fonction apparaît lors de cette période sous la forme de tables numériques notamment chez les babyloniens pour exécuter des calculs (tables de carrés, de racines carrées, de cubes et de racines cubiques) ou pour compiler des éphémérides du soleil, de la lune ou d’autres planètes.
Le développement de la trigonométrie entraîna l’usage de tables de cordes, l’équivalent des tables de sinus qui seront développées par les hindous quelques siècles plus tard.
Aucune formule algébrique, aucune expression littérale n’a jamais été introduite. Il n’y avait pas d’idée de fonction, dans l’Antiquité, mais plutôt de relations fonctionnelles.
« La pensée mathématique de l’Antiquité n’a créé aucune notion générale ni de quantité variable ni de fonction
[1]
»
1.2- Le Moyen Age
Au cours du Moyen Age, l’idée que les lois quantitatives de la nature étaient de type fonctionnel a commencé à se dessiner. Une fonction est définie soit par une description verbale de sa propriété, soit par un graphe.
Les écoles d’Oxford et de Paris ont commencé à considérer les mathématiques comme un instrument privilégié pour étudier des phénomènes naturels. On cherche à quantifier certaines quantités ou phénomènes : chaleur, densité, vitesse etc. …
1.3- La période moderne (à partir de la fin du XVIème siècle)
Avec les progrès de l’écriture symbolique en algèbre (Viète), se développe la notion de relation fonctionnelle exprimée de façon explicite par une formule. Les travaux de Galilée sur la mécanique (étude des trajectoires) mettent en relation des variables comme la vitesse et la distance parcourue par un solide.
Descartes expose l’idée qu’une équation entre x et y est une manière d’introduire une dépendance fonctionnelle : la connaissance de la valeur d’une variable permet de déterminer la valeur de l’autre. Cette méthode est appliquée avec succès à des résolutions graphiques d’équations, elle constitue une étape importante dans le développement des mathématiques. Descartes classe les courbes en « géométriques » et « mécaniques », excluant ces dernières de la géométrie comme ne pouvant pas être étudiées par sa méthode.
Leibniz se sert du mot « fonction » pour désigner des quantités qui dépendent d’une variable et introduit les termes de « constante », de « variable », de « coordonnées » et de « paramètre ». A cette même époque, Newton utilise le terme de « fluent ». Le terme de « fonction » est accepté par Bernouilli avec qui Leibniz correspondit pour échanger leurs opinions sur la notation la plus adaptée pour une fonction d’une ou plusieurs variables. Ils étaient favorables à la notation indiciaire x1, x2, x ; y1, x etc … Plus tard, Bernouilli proposera la notation sans parenthèse jx. Contrairement à Descartes, Leibniz ne distingue pas les courbes « géométriques » des courbes « mécaniques » mais divise les fonctions et les courbes en deux classes : algébriques et transcendantes. Il démontra que la fonction sinus ne pouvait pas être une fonction algébrique.
Euler définit la fonction d’une quantité variable comme une expression analytique constituée de cette quantité variable et de constantes. Il étudia systématiquement toutes les fonctions élémentaires. Il distinguait les fonctions explicites des fonctions implicites ainsi que les fonctions qui, à une valeur de la variable, donnent une seule image de celles qui peuvent en donner plusieurs. Il introduit, pour la première fois, la notation f(x).
Le point de vue qui domine alors est l’aspect purement formel du concept de fonction. Par la suite, ce concept évoluera au rythme des difficultés rencontrées.
2- L’enseignement de la notion de fonction en LP
Les obstacles rencontrés par les élèves lors de l’enseignement de ce concept de fonction sont liés à :
- une mauvaise maîtrise de l’écriture algébrique des expressions ;
- l'absence de sens dans la lecture des expressions algébriques ;
- l'absence d’une représentation mentale du concept de fonction ;
- la difficulté à associer une courbe ou un tableau de valeurs non aléatoire au concept de fonction et réciproquement.
- la difficulté à différentier le sens associé à l’utilisation de lettres (dénomination des points d’une figure, point variable d’une figure, variable numérique, unité de mesure).
Les situations adidactiques que nous proposons en activités ont pour objectif de faire travailler les élèves sur ces champs de difficulté tout en développant simultanément la notion d’équation dont la résolution par la méthode graphique sera systématisée. Le passage au terme de « fonction » ne sera explicitement réalisé qu’après que les élèves aient suffisamment exercé leurs connaissances sur la notion de formule. La notation f(x) sera introduite en tant qu’abréviation de l’expression « en fonction de x ». Par ailleurs, les compétences associées au traitement algébrique seront développées au cours des diverses situations présentées.
[1]
YOUSCHEKEVITCH : « le concept de fonction jusqu’au milieu de XIXe siècle » dans « Fragment d’histoire des mathématiques » brochure APMEP N° 41 - 1981